尺规作图三等分点怎么画，三等分点用尺规作图怎么画-希知网

尺规作图三等分点怎么画，三等分点用尺规作图怎么画

我依稀记得在十年前，我的数学老师曾多次提及：”尺规作图：求一条线段的三等分点”、”尺规作图：求一只角的三等分角”是数学史上的一大难题，就像陈景润先生一生追求的哥德巴赫猜想一样，是可以追求一生的难题。

不久前我在网上搜索过一些资料标注着解决了”尺规作图：求一条线段的三等分点”但是仔细看时才明白并非如此。首先，尺规作图所用的尺是无刻度的尺，因而他不能直接作出直角与平行线。其次，即使真解决了”求三等分点”问题（因为文章没有证明内容），那是否容我疑问”求五等分点”问题解决了么？

因而本文以求证”尺规作图：求一条线段的五等分点”的内容详述”求n等分点”的方法（n可以取任意素数）

方法一：

问题：求一条线段AB的五等分点。

答：

1：用尺规为线段AB做中垂线，得到线段中点o。

2：用圆规画圆，圆o

3：在空白处做提条射线L，截取一段线段命名L1，及一段5倍的L1线段，命名L5。（长度：L5=5*L1）

（此处需注意，所截取的线段L1需要主观预判，使L5小于线段AB长度，否则无法进行下一步）

4：用圆规截取L5的长度，然后以线段AB的A为圆心，L5为半径做圆弧，于圆o相交，交点命名为点C。连接AC、BC。

用圆规截取L1的长度，然后以线段AB的A为圆心，L1为半径做圆弧，于线段AC相交，交点命名点a，之后以交点a为圆心，L1为半径做圆弧，于线段aC相交，交点命名b。如图

5：用尺规为线段Ab做中垂线，中垂线与AB的交点命名为f1。则f1为线段AB的五分之一点。

证明：

∵o是线段AB的中点，C是圆o上的点

∴∠ACB是直角

∵直线af1是线段Ab的中垂线

∴∠Aaf1是直角

∵∠CAB是△ABC与△aAf1的共用的角

∴△ABC∽△aAf1

∵线段Aa长度是L1，线段AC长度是L5，L5=5*L1

∴长度Aa*5=AC

∴长度Af1*5=AB

即f1是AB的五分之一点。

方法二：

问题：求一条线段AB的五等分点。

答：

1：另起一空白处，做向任意方向做一条射线L，截取一段线段命名L1，及一段5倍的L1线段，命名L5。（长度：L5=5*L1）

（此处可以个人估量L1为五分之一长度的AB，该条件并非必须）。

2：以A、B两点做圆心，用圆规截取长度为L5的圆弧相交于C、D。在AC线段上做圆弧，以A为圆心，用圆规截取长度为L1的圆弧相交AC于a。以a为圆心，用圆规截取长度为L1的圆弧相交AC于b，同理可得点c、d和a\’、b\’、c\’、d\’。

3：连接ad\’与AB交于f1点，连接bc\’与AB交于f2点，连接cb\’与AB交于f3点，连接da\’与AB交于f4点。则f1、f2、f3、f4是线段AB的五分之一点。

证明：

∵线段AB=BC=BD=AD，AB=AB

∴△ABC≌△ABD

∴∠CAB=∠DBA

∵∠Af1a与∠d\’f1B是对顶角

∴∠Af1a=∠d\’f1B

∴△Aaf1∽△f1Bd\’

∵Bd\’=4*L1=4*aA

∴Bf1=4*Af1

即f1为线段AB的五分之一点

同理可得

f2、f3、f4也为线段AB的五分之一点

结尾：

以上两种方法均可以求证”七等分点””十一等分点”等类似问题。希望有更多数学系或对数学有兴趣的小伙伴能受用。

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