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四、平方数法

平方是一种特殊的乘法，很多数的平方算法是有规律的，我们掌握了这些规律并且记住一些常用的平方结果之后，把普通的乘法转换成乘方运算，就可以大大简化计算过程。

所谓平方数也叫做完全平方数，就是指这个数是某个整数的平方。也就是说一个数如果是另一个整数的平方，那么我们就称这个数为完全平方数。

例如：

12=1　22=4　32=9

42=16　52=25　62=36

72=49　82=64　92=81

102=100　…

其中，1、4、9、16、25…这些数为完全平方数。

（1）完全平方数的性质

观察这些完全平方数，我们可以发现它们的个位数、十位数、数字和等存在一定的规律性。根据这些规律，可以总结出完全平方数的一些常用性质。

性质1：完全平方数的末位数只能是1、4、5、6、9或者00。

换句话说，一个数字如果以2、3、7、8或者单个0结尾，那这个数一定不是完全平方数。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。

证明：

奇数必为下列五种形式之一，即

10a+1，10a+3，10a+5，10a+7，10a+9。

分别平方后，得

（10a+1）2=100a2+20a+1=20a×（5a+1）+1

（10a+3）2=100a2+60a+9=20a×（5a+3）+9

（10a+5）2=100a2+100a+25=20×（5a2+5a+1）+5

（10a+7）2=100a2+140a+49=20×（5a2+7a+2）+9

（10a+9）2=100a2+180a+81=20×（5a2+9a+4）+1

综合以上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1、5、9，十位数字为偶数。

同理可证明偶数的平方的个位数一定是偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为：

（2k+1）2=4k（k+1）+1

（2k）2=4k2

性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

在性质4的证明中，由k（k+1）一定为偶数可得到（2k+1）2是8n+1型的数；由该数为奇数或偶数可得（2k）2为8n型或8n+4型的数。

性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k、3k+1。

因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m、3m+1、 3m+2。各自平方后，分别得：

（3m）2=9m2=3k

（3m+1）2=9m2+6m+1=3k+1

（3m+2）2=9m2+12m+4=3k+1

性质7：不是5的因数或倍数的数的平方为5k+/-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。

性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m、16m+1、16m+4、16m+9。

记住完全平方数的这些性质有利于我们判断一个数是不是完全平方数。为此，要记住以下结论：

①个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数。

②个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。

③个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数。

④奇数的平方的十位数字为偶数；奇数的平方的个位数字是奇数；偶数的平方的个位数字是偶数。

⑤除以3的余数只能是0或1；形如3n+2型的整数一定不是完全平方数。

⑥除以4的余数只能是0或1；形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数。

⑦形如5n±2型的整数一定不是完全平方数。

⑧形如8n+2、8n+3、8n+5、8n+6、8n+7型的整数一定不是完全平方数。

⑨约数个数为奇数；否则不是完全平方数。

⑩两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数。

（2）常用的平方公式

①平方差公式：

x2－y2=（x－y）（x+y）

②完全平方和公式：

（x+y）2=x2+2xy+y2

③完全平方差公式：

（x－y）2=x2－2xy+y2

（3）常用的平方数

牢记一些常用的平方数，特别是11～30以内的数的平方，可以很好地提高计算速度。

112=121

122=144

132=169

142=196

152=225

162=256

172=289

182=324

192=361

202=400

212=441

222=484

232=529

242=576

252=625

262=676

272=729

282=784

292=841

302=900

1．任意两位数的平方

方法：

（1）用ab来表示要计算平方的两位数，其中a为十位上的数，b为个位上的数。

（2）结果的第一位为a2，第二位为2ab，第三位为b2。记作：a2/2ab/b2。

（3）斜线只作区分之用，后面只能有1位数字，超出部分进位到斜线前面。

例子：

（1）计算132=　　　　　。

解：

结果为　169。

所以　132=169

（2）计算622=　　　　　。

解：

进位后结果为3844。

所以　622=3844

（3）计算572=　　　　　。

解：

进位后结果为3249。

所以　572=3249

练习：

（1）计算192=　　　　　。

（2）计算272=　　　　　。

（3）计算932=　　　　　。

2．扩展：任意三位数的平方

方法：

（1）用abc来表示要计算平方的三位数，其中a为百位上的数，b为十位上的数，c为个位上的数。

（2）结果的第一位为a2，第二位为2ab，第三位为2ac+b2，第四位为2bc，第五位为c2。记作：a2/2ab/2ac+b2/2bc/c2。

（3）斜线只作区分之用，后面只能有1位数字，超出部分进位到斜线前面。

例子：

（1）计算1322=　　　　　。

解：

进位后结果为17424。

所以　1322=17424

（2）计算2622=　　　　　。

解：

进位后结果为68644。

所以　2622=68644

（3）计算5682=　　　　　。

解：

52/2×5×6/2×5×8+62/2×6×8/82

25/60/116/96/64

进位后结果为322624。

所以　5682=322624

练习：

（1）计算1522=　　　　　。

（2）计算1852=　　　　　。

（3）计算8362=　　　　　。

3．用中间数算乘法

我们已经知道如何计算数的平方了，而且有一些常用的数的平方我们也应该记住了。有了这个基础，可以运用因数分解法来使某些符合特定规律的乘法转变成简单的方式进行计算。这个特定的规律就是：相乘的两个数之间的差必须为偶数。

方法：

（1）找出被乘数和乘数的中间数（只有相乘的两个数之差为偶数，它们才有中间数）。

（2）确定被乘数和乘数与中间数之间的差。

（3）用因数分解法把乘法转变成平方差的形式进行计算。

例子：

（1）计算17×13=　　　　　。

解：

首先找出它们的中间数为15（求中间数很简单，即将两个数相加除以2即可，一般心算即可求出）。另外，计算出被乘数和乘数与中间数之间的差为2。因此

所以　17×13=221

（2）计算158×142=　　　　　。

解：

首先找出它们的中间数为150。另外，计算出被乘数和乘数与中间数之间的差为8。因此

所以　158×142=22436

（3）计算59×87=　　　　　。

解：

首先找出它们的中间数为73。另外，计算出被乘数和乘数与中间数之间的差为14。因此

所以　59×87=5133

注意：被乘数与乘数相差越小，计算越简单。

练习：

（1）计算27×35=　　　　　。

（2）计算171×175=　　　　　。

（3）计算583×591=　　　　　。

4．用模糊中间数算乘法

有的时候，中间数的选择并不一定要取标准的中间数（即两个数的平均数），为了方便计算，还可以取凑整或者平方容易计算的数作为中间数。

方法：

（1）找出被乘数和乘数的模糊中间数a（即与相乘的两个数的中间数最接近并且有利于计算的整数）。

（2）分别确定被乘数和乘数与中间数之间的差b和c。

（3）用公式（a+b）×（a+c）=a2+a×（b+c）+b×c进行计算。

例子：

（1）计算47×38=　　　　　。

解：

首先找出它们的模糊中间数为40（与中间数最相近，并容易计算的整数）。另外，分别计算出被乘数和乘数与中间数之间的差为7和－2。因此

所以　47×38=1786

（2）计算72×48=　　　　　。

解：

首先找出它们的模糊中间数为50。另外，分别计算出被乘数和乘数与中间数之间的差为22和－2。因此

所以　72×48=3456

（3）计算112×98=　　　　　。

解：

首先找出它们的模糊中间数为100。另外，分别计算出被乘数和乘数与中间数之间的差为12和－2。因此

所以　112×98=10976

练习：

（1）计算73×68=　　　　　。

（2）计算58×65=　　　　　。

（3）计算111×97=　　　　　。

5．用较小数的平方算乘法

有的时候，还可以用较小的那个乘数作为所谓的“中间数”来进行计算，这样会更简单。

方法：

（1）将被乘数和乘数中较大的数用较小的数加上两者之差的形式表示出来。

（2）用公式a×b=（b+c）×b=b2+b×c进行计算。

例子：

（1）计算48×45=　　　　　。

解：

所以　48×45=2160

（2）计算72×68=　　　　　。

解：

所以　72×68=4896

（3）计算111×105=　　　　　。

解：

所以　111×105=11655

练习：

（1）计算79×68=　　　　　。

（2）计算98×88=　　　　　。

（3）计算127×125=　　　　　。

6．用因式分解求两位数的平方

方法：

（1）把a2写成a2－b2+b2的形式（其中b为a的个位数或者向上取整的补数）。

（2）分别算出a2－b2=（a+b）（a－b）和b2的值，相加即可。

例子：

（1）计算132=　　　　　。

解：

所以　132=169

（2）计算622=　　　　　。

解：

所以　622=3844

（3）计算572=　　　　　。

解：

或者

所以　572=3249

练习：

（1）计算292=　　　　　。

（2）计算572=　　　　　。

（3）计算932=　　　　　。

7．扩展：用因式分解求三位数的平方

方法：

（1）把a2写成a2－b2+b2的形式（其中b为a的个位数和十位数或者向上取整的补数）。

（2）分别算出a2－b2=（a+b）（a－b）和b2的值，相加即可。

例子：

（1）计算1032=　　　　　。

解：

所以　1032=10609

（2）计算6122=　　　　　。

解：

所以　6122=374544

（3）计算5972=　　　　　。

解：

所以　5972=356409

注意：此方法适用于所有三位数，但为了计算方便，这个方法更适用于接近整百的数。

练习：

（1）计算2042=　　　　　。

（2）计算2972=　　　　　。

（3）计算9132=　　　　　。

8．任意两位数的立方

方法：

（1）把要计算立方的这个两位数用ab表示。其中a为十位上的数字，b为个位上的数字。

（2）分别计算出a3、a2b、ab2、b3的值，写在第一排。

（3）将上一排中中间的两个数a2b、ab2分别乘以2，写在第二排对应的a2b、ab2下面。

（4）将上面两排数字分别相加，所得结果即为答案各个数位上的数字（每个数字都应为1位数，如超过1位，则注意进位）。

例子：

（1）计算123=　　　　　。

解：

a=1，　b=2

a3=1，　a2b=2，　ab2=4，　b3=8

进位

所以，123=1728。

（2）计算263=　　　　　。

解：

a=2，　b=6

a3=8，　a2b=24，　ab2=72，　b3=216

所以，263=17576。

（3）计算213=　　　　　。

解：

a=2，　b=1

a3=1，　a2b=2，　ab2=4，　b3=8

进位　　　　　　　　　　　9　　2　　6　　1

所以，213=9261。

练习：

（1）计算313=　　　　　。

（2）计算243=　　　　　。

（3）计算763=　　　　　。

9．用因式分解求两位数的立方

方法：

（1）把a3写成a3－ab2+ab2的形式（其中b为a的个位数或者向上取整的补数）。

（2）因为a3－ab2=a（a+b）（a－b），所以分别算出a（a+b）（a-b）和ab2的值，相加即可。

例子：

（1）计算133=　　　　　。

解：

所以　133=2197

（2）计算623=　　　　　。

解：

所以　623=238328

（3）计算273=　　　　　。

解：

所以　273=19683

练习：

（1）计算293=　　　　　。

（2）计算573=　　　　　。

（3）计算933=　　　　　。

10．求完全平方数的平方根

前面介绍了完全平方数的性质和判断方法，除此之外，要找出一个完全平方数的平方根，还要弄清以下两个问题：

（1）如果一个完全平方数的位数为n，那么，它的平方根的位数为n/2或（n+1）/2。

（2）记住表1-1中的对应数。只有了解这些对应数，才能找到平方根。

表1-1

方法：

（1）先根据被开方数的位数计算出结果的位数。

（2）将被开方数的各位数字分成若干组（如果位数为奇数，则每个数字各成一组；如位数为偶数，则前两位为一组，其余数字各成一组）。

（3）看第一组数字最接近哪个数的平方，找出答案的第一位数（答案第一位数的平方一定不要大于第一组数字）。

（4）将第一组数字减去答案第一位数字的平方所得的差，与第二组数字组成的数字作为被除数，答案的第一位数字的2倍作为除数，所得的商为答案的第二位数字，余数则与下一组数字作为下一步计算之用（如果被开方数的位数不超过4位，到这一步即可结束）。

（5）将上一步所得的数字减去答案第二位数字的对应数（如果结果为负数，则将上一步中得到的商的第二位数字减1重新计算），所得的差作为被除数，依然以答案的第一位数字的2倍作为除数，商即为答案的第三位数字（如果被开方数为5位或6位，则会用到此步。7位以上过于复杂我们暂且忽略）。

例子：

（1）计算2116的平方根。

解：

因为被开方数的位数为4位，根据前面的公式，平方根的位数应该为

4÷2=2位

因为位数为4，是偶数，所以前两位分为一组，其余数字各成一组。

分组得：　　21　1　6

找出答案的第一位数字，即42=16，最接近21，所以答案的第一位数字为4。

将4写在与21对应的下面，即21－42=5，写在21的右下方，与第二组数字1构成被除数51。4×2=8为除数写在最左侧。得到如图1-1所示。

51÷8=6余3，把6写在第二组数字1下面对应的位置，作为第二位的数字。余数3写在第二组数字1的右下方，而36－62=0。计算过程如图1-2所示。

图1-1

图1-2

这样就得到了答案，即2116的平方根为46。

（2）计算9604的平方根。

解：

因为被开方数为4位，根据前面的公式，平方根的位数应该为：

4÷2=2位

因为位数为4，是偶数，所以前两位分为一组，其余数字各成一组，分组得：

96　0　4

找出答案的第一位数字，即92=81最接近96，所以答案的第一位数字为9。

将9写在与96对应的下面。96－92=15，将15写在96的右下方，与第二组数字0构成被除数150。9×2=18为除数写在最左侧。得到图1-3。

150÷18=8余6，把8写在第二组数字0下面对应的位置，作为第二位的数字。余数6写在第二组数字0的右下方，而64－82=0。计算过程见图1-4。

图1-3

图1-4

这样就得到了答案，即9604的平方根为98。

（3）计算18496的平方根。

解：

因为被开方数为5位，根据前面的公式，平方根的位数应该为：

（5+1）÷2=3位

因为位数为5，是奇数，所以每个数字各成一组，分组得：

1　　8　　4　　9　　6

找出答案的第一位数字，即12=1最接近1，所以答案的第一位数字为1。

将1写在与第一组数字1对应的下面。1－12=0，将0写在1的右下方，与第二组数字8构成被除数8。1×2=2为除数写在最左侧。得到图1-5。

8÷2=4余0，把4写在第二组数字8下面对应的位置，作为第二位的数字。余数0写在第二组数字8的右下方。计算过程见图1-6。

图1-5

图1-6

因为答案第二位的对应数为42=16，4－16为负数，所以将上一步得到的答案第二位改为3。变为图1-7。

减去对应数后，24－32=15，15除以除数2等于7。计算过程见图1-8。

图1-7

图1-8

此时发现19减去37的对应数依然是负数，所以将上一位的7改为6。此时减去对应数后才不是负数。见图1-9。

这样就得到了答案，即18496的平方根为136。

（4）计算729316的平方根。

解：因为被开方数为6位，根据前面的公式平方根的位数应该为：

6÷2=3位

因为位数为6，是偶数，所以前两位为一组，其余数字各成一组。分组得：

72　　9　　3　　1　　6

找出答案的第一位数字82=64最接近72，所以答案的第一位数字为8。

将8写在与第一组数字72对应的下面，72－82=8，将8写在72的右下方，与第二组数字9构成被除数89。8×2=16为除数写在最左侧。得到图1-10。

图1-9

图1-10

89÷16=5余9，把5写在第二组数字9下面对应的位置，作为第二位的数字。余数9写在第二组数字9的右下方。见图1-11。

减去对应数后，93－52=68，68除以除数16等于4余4。见图1-12。

图1-11

图1-12

41减去54的对应数为1，为正数，所以就得到了答案，即729316的平方根为854。

练习：

（1）计算9604的平方根。

（2）计算3025的平方根。

（3）计算39601的平方根。

11．求完全立方数的立方根

相对来说，完全立方数的立方根计算起来要比完全平方数的平方根简单得多。但是，首先还是要先了解一下计算立方根的背景资料。内容如下：

13=1　23=8　33=27

43=64　53=125　63=216

73=343　83=512　93=729

103=1000　…

观察这些完全立方数，你会发现一个很有意思的特点：2的立方尾数为8，而8的立方尾数为2；3的立方尾数为7，而7的立方尾数为3；1、4、5、6、9的立方的尾数依然是1、4、5、6、9；10的立方尾数有3个0。记住这些规律对我们求解一个完全立方数的立方根是大有好处的。

方法：

（1）将立方数排列成一横排，从最右边开始，每三位数加一个逗号。这样一个完全立方数就被逗号分成了若干个组。

（2）看最右边一组的尾数是多少，从而确定立方根的最后一位数。

（3）看最左边一组，看它最接近哪个数的立方（这个数的立方不能大于这组数），从而确定立方根的第一位数。

（4）这个方法对于位数不多的求立方根的完全立方数比较适用。

例子：

（1）求9261的立方根。

解：

先看后三位数，尾数为1，所以立方根的尾数也为1。再看逗号前面为9，而23=8，所以立方根的第一位是2。所以9261的立方根为21。

（2）求778688的立方根。

解：

先看后三位数，尾数为8，所以立方根的尾数为2。再看逗号前面为778，而93=721，所以立方根的第一位是9。所以778688的立方根为92。（3）求17576的立方根。

解：

先看后三位数，尾数为6，所以立方根的尾数为6。再看逗号前面为17，而23=8，33=27就大于17了，所以立方根的第一位是2。所以17576的立方根为26。

练习：

（1）计算1331的立方根。

（2）计算3375的立方根。

（3）计算13824的立方根。